О применении Байесовского подхода к построению интервала охвата при ограничениях на значения измеряемой величины

Проблема оценивания неопределенности результатов измерений вблизи естественных границ значений измеряемых величин представляет значительный интерес для метрологов-практиков и далека от своего разрешения. В статье рассмотрен Байесовский подход к построению несимметричного интервала охвата и оцениванию неопределенности измерения в случае, когда множество возможных значений измеряемой величины ограничено. Особый интерес представляет случай, когда измеренное значение находится вблизи границы множества его возможных значений, так как построенный «традиционный» симметричный интервал, отвечающий значению коэффициента охвата, равному двум (для уровня доверия 95 %), выходит за эту границу и, как следствие, перестает обеспечивать заданный уровень доверительной вероятности.

При реализации Байесовского подхода важным исходным моментом является выбор априорной плотности распределения значений измеряемой величины. Рассмотрены четыре варианта выбора априорной плотности, включая асимметричную плотность распределения из семейства двусторонних степенны́ х распределений (TSP), даны рекомендации по их выбору и применению в зависимости от близости априорной оценки нижней границы измеряемой величины, а также измеряемого значения, к верхней границе диапазона возможных значений, относительно величины неопределенности измерения.

Разработано программное обеспечение для оценки характеристик апостериорной плотности (математического ожидания, моды и СКО) распределений значений измеряемой величины и построения кратчайших интервалов охвата, а также для вычисления уровня доверия, соответствующего «традиционному» интервалу охвата, полученному с использованием расширенной неопределенности. Применение разработанного программного обеспечения позволяет получить полную информацию о точности измерения и сделать обоснованный выбор при представлении результата измерения. Полученные результаты могут представлять интерес для метрологов-практиков при разработке и аттестации методик измерений, обработке экспериментальных данных и представлении результатов измерений при характеризации стандартных образцов, а также для специалистов, занимающихся применением методов теории вероятностей и математической статистики в решении практических задач.

1. Possolo A., Merkatas C., Bodnar O. Asymmetrical uncertainties // Metrologia. 2019. Vol. 56, № 4. P. 045009. http://dx.doi.org/10.1088/1681–7575/ab2a8d

2. Sahlin E., Magnusson B., Svensson T. Calculation of uncertainty intervals for skewed distributions – Application in chemical analysis with large uncertainties. RISE Report 2021:07. Gothenburg, Sweden: RISE Research Institutes of Sweden, 2021. 43 p. http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.27781.22241

3. Cowen S., Ellison S. Reporting measurement uncertainty and coverage intervals near natural limits // The Analyst. 2006. Vol. 131, № 6. P. 710–717. http://dx.doi.org/10.1039/B518084H

4. Korun M., Zorko B. Reporting measurement results of activities near the natural limit: Note and extension of the article «Interpretation of measurement results near the detection limit in gamma-ray spectrometry using Bayesian statistics» // Accreditation and Quality Assurance. 2013. Vol. 18, № 3. P. 175–179. http://dx.doi.org/10.1007/s00769-013-0963-1

5. Wilrich P. Note on the correction of negative measured values if the measurand is nonnegative // Accreditation and Quality Assurance. 2014. Vol. 19, № 2. P. 81–85. http://dx.doi.org/10.1007/s00769-013-1028-1

6. Wilrich P. Note on the correction of negative measured values if the measurand is positive or 0 with known probability // Accreditation and Quality Assurance. 2017. Vol. 22, № 4. P. 227–232. https://link.springer.com/article/10.1007/s00769-017-1264-x

7. Lira I., Grientschnig D. Bayesian assessment of uncertainty in metrology: a tutorial // Metrologia. 2010. Vol. 47, № 3. http://dx.doi.org/10.1088/0026-1394/47/3/R01

8. Elster C. Bayesian uncertainty analysis compared with the application of the GUM and its supplements // Metrologia. 2014. Vol. 51, № 4. P. S159–S166. http://dx.doi.org/10.1088/0026-1394/51/4/S159

9. Chunovkina A. G., Stepanov A. V. Calculation of coverage intervals for repeated measurements (Bayesian inference) // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1065. P. 212009. http://dx.doi.org/10.1088/1742–6596/1065/21/212009

10. Stepanov A. V., Chunovkina A. G, Burmistrova N. A. Calculation of coverage intervals: some study cases // Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing X. 2015. Vol. 86. P. 132–139. https://doi.org/10.1142/9789814678629_0015

11. Meija J., Bodnar O., Possolo A. Ode to Bayesian methods in metrology // Metrologia. 2023. Vol. 60, № 5. P. 052001. http://dx.doi.org/10.1088/1681–7575/acf66b

12. Van Dorp J. R., Kotz S. The standard two-sided power distribution and its properties // The American Statistician. 2002. Vol. 56, № 2. P. 90–99. https://doi.org/10.1198/000313002317572745

13. Kotz S., Van Dorp J. R. Beyond beta: other continuous families of distributions with bounded support and applications. World scientific publishing, 2004. 308 p. https://doi.org/10.1142/5720

14. Herrerias-Velasco J. M., Herrerias-Pleguezuelo R., Van Dorp J. R. The generalized two-sided power distribution // Journal of Applied Statistics. 2009. Vol. 36, № 5. P. 573–587. http://dx.doi.org/10.1080/02664760802582850

15. Stepanov A. V., Chunovkina A. G. On testing of the homogeneity of variances for two-sided power distribution family // Accreditation and Quality Assurance. 2023. Vol. 28. P. 129 –137. http://dx.doi.org/10.1007/s00769-022-01525-8

16. Степанов А. В., Чуновкина А. Г. Об оценке параметров асимметричного TSP распределения и его применении // Вероятностные методы в дискретной математике. 2024: тезисы докладов XI Международной Петрозаводской конференции, Петрозаводск, Карелия, 27–31 мая 2024 г. Петрозаводск : Карельский научный центр РАН, 2024. С. 106–108.